Algorithmen: Mathematik - Versionsgeschichte

Akaibel: /* Excel: Mittelwert und Standardabweichung berechnen */

2022-12-01T18:19:22Z

Excel: Mittelwert und Standardabweichung berechnen

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2022, 18:19 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	* Die Daten in Spalte A packen.		* Die Daten in Spalte A packen.
	** Wichtig: Zahlen mit Kommas!		** Wichtig: Zahlen mit Kommas!
	* Folgende Formeln z.B. in die Felder <code>C1</code> ~~und~~ <code>C2</code> eintragen:		* Folgende Formeln z.B. in die Felder <code>C1</code> bis <code>C5</code> eintragen:
	** <code>=MITTELWERT(A:A)</code>		** '''C1: '''<code>=ANZAHL(A:A)</code>
	** <code>=STABW.S(A:A)</code>		** '''C2: '''<code>=MITTELWERT(A:A)</code>
			** '''C3: '''<code>=STABW.S(A:A)</code>
			** '''C4: '''<code>=C2-2,58*C3/WURZEL(C1)</code>  ''Berechnet die untere Grenze des 99%-Konfidenzintervalls.''
			** '''C5: '''<code>=C2+2,58*C3/WURZEL(C1)</code>  ''Berechnet die obere Grenze des 99%-Konfidenzintervalls.'

	=Java: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=		=Java: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=

Akaibel: /* Beispiel: Ermittlung von PI */

2022-11-16T16:58:14Z

Beispiel: Ermittlung von PI

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 16:58 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:		Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:

	* <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] ~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7851 - 2,58 \cdot{0,~~0411~~} ~ \| ~ 0,7851 + 2,58 \cdot{0,~~0411~~} ]~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7745 ~ \| ~ 0,7957]</math>		* <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] ~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7851 - 2,58 \cdot{0,00411} ~ \| ~ 0,7851 + 2,58 \cdot{0,00411} ]~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7745 ~ \| ~ 0,7957]</math>

	Da man diese Simulation nur für einen Viertelkreis gemacht hat, muss man das Intervall noch mit 4 multiplizieren, um ein Konfidenzintervall für Pi zu erhalten:		Da man diese Simulation nur für einen Viertelkreis gemacht hat, muss man das Intervall noch mit 4 multiplizieren, um ein Konfidenzintervall für Pi zu erhalten:

Akaibel: /* Beispiel: Ermittlung von PI */

2022-11-16T16:54:17Z

Beispiel: Ermittlung von PI

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 16:54 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:		Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:

	* <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] ~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7851 - 2,58 \cdot{0,~~041~~} ~ \| ~ 0,7851 + 2,58 \cdot{0,~~041~~} ]~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7745 ~ \| ~ 0,7957]</math>		* <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] ~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7851 - 2,58 \cdot{0,0411} ~ \| ~ 0,7851 + 2,58 \cdot{0,0411} ]~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7745 ~ \| ~ 0,7957]</math>

	Da man diese Simulation nur für einen Viertelkreis gemacht hat, muss man das Intervall noch mit 4 multiplizieren, um ein Konfidenzintervall für Pi zu erhalten:		Da man diese Simulation nur für einen Viertelkreis gemacht hat, muss man das Intervall noch mit 4 multiplizieren, um ein Konfidenzintervall für Pi zu erhalten:
Zeile 51:		Zeile 51:
	Mit 99% Wahrscheinlichkeit liegt Pi im Intervall		Mit 99% Wahrscheinlichkeit liegt Pi im Intervall

	<math>[4 \cdot 0,7745 ~\|~ 4 \cdot 0,7957]~=</math> <br/><math>[3,~~098~~ ~\|~ 3,1828]</math>		<math>[4 \cdot 0,7745 ~\|~ 4 \cdot 0,7957]~=</math> <br/><math>[3,0980 ~\|~ 3,1828]</math>

	=Excel: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=		=Excel: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=

Akaibel: /* Beispiel: Ermittlung von PI */

2022-11-16T16:41:26Z

Beispiel: Ermittlung von PI

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 16:41 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:		Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:

	* <math>[\overline x - 2,58 \cdot{s} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot{s} ] ~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7851 - 2,58 \cdot{0,041} ~ \| ~ 0,7851 + 2,58 \cdot{0,041} ]~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7745 ~ \| ~ 0,7957]</math>		* <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] ~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7851 - 2,58 \cdot{0,041} ~ \| ~ 0,7851 + 2,58 \cdot{0,041} ]~ = ~</math><br/><br/><math>[0,7745 ~ \| ~ 0,7957]</math>

	Da man diese Simulation nur für einen Viertelkreis gemacht hat, muss man das Intervall noch mit 4 multiplizieren, um ein Konfidenzintervall für Pi zu erhalten:		Da man diese Simulation nur für einen Viertelkreis gemacht hat, muss man das Intervall noch mit 4 multiplizieren, um ein Konfidenzintervall für Pi zu erhalten:

Akaibel: /* Beispiel: Ermittlung von PI */

2022-11-16T16:37:10Z

Beispiel: Ermittlung von PI

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 16:37 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:

	* '''Mittelwert''': <math> \overline x = 0,7851 </math>		* '''Mittelwert''': <math> \overline x = 0,7851 </math>
	* '''Standardabweichung der Stichprobe''': <math> s = \sqrt{\frac{ ~~\sqr~~{{7851}\cdot{(1 - 0,7851)}} + {2149} \cdot {~~\sqr{~~0 - 0,7851}}}{9999}} = 0,~~0041~~</math>		* '''Standardabweichung der Stichprobe''': <math> s = \sqrt{\frac{ {{7851}\cdot{(1 - 0,7851)^2}} + {2149} \cdot {(0 - 0,7851)^2}}{9999}} = 0,411</math>

	Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:		Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:

Akaibel: /* Beispiel: Ermittlung von PI */

2022-11-16T16:32:13Z

Beispiel: Ermittlung von PI

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 16:32 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:

	* '''Mittelwert''': <math> \overline x = 0,7851 </math>		* '''Mittelwert''': <math> \overline x = 0,7851 </math>
	* '''Standardabweichung der Stichprobe''': <math> s = \sqrt{\frac{0,7851 \cdot (1-0,7851)}{n-1}} = 0,0041</math>		* '''Standardabweichung der Stichprobe''': <math> s = \sqrt{\frac{ \sqr{{7851}\cdot{(1 - 0,7851)}} + {2149} \cdot {\sqr{0 - 0,7851}}}{9999}} = 0,0041</math>

	Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:		Bestimmung des Konfidenzinterfalls für eine Wahrscheinlichkeit von 99%:

Akaibel: /* Sonderfall: Bernoulli-Versuche */

2022-11-16T16:15:26Z

Sonderfall: Bernoulli-Versuche

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 16:15 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	* Mit 95% Sicherheit liegt der <u>Mittelwert der Grundgesamtheit</u> im Intervall <math>[\overline x - 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.		* Mit 95% Sicherheit liegt der <u>Mittelwert der Grundgesamtheit</u> im Intervall <math>[\overline x - 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.
	* Mit 99% Sicherheit liegt der <u>Mittelwert der Grundgesamtheit</u> im Intervall <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.		* Mit 99% Sicherheit liegt der <u>Mittelwert der Grundgesamtheit</u> im Intervall <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.

	~~==Sonderfall: Bernoulli-Versuche==~~
	Bei Bernoulli-Versuchen (d.h. Versuchen, für die es als Ergebnis nur "0" oder "1" gibt), ist die Ermittlung von Mittelwert und Standardabweichung sehr einfach, denn die Ergebnisse von Bernoulli-Ketten sind "binominalverteilt". Deswegen kann man Mittelwert und Standardabweichung wie folgt berechnen:

	* '''Mittelwert''': <math> \overline x = p </math>
	* '''Standardabweichung der Stichprobe''': <math> s = \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n-1}}</math>

	=Beispiel: Ermittlung von PI =		=Beispiel: Ermittlung von PI =

Akaibel: /* Ermittlung des Konfidenzintervalls mithilfe von Mittelwert und Standardabweichung */

2022-11-16T15:10:26Z

Ermittlung des Konfidenzintervalls mithilfe von Mittelwert und Standardabweichung

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 15:10 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:

	Jetzt gilt (lt. Mathematik...):		Jetzt gilt (lt. Mathematik...):
	* Mit 95% Sicherheit liegt ~~das echte Ergebnis~~ im Intervall <math>[\overline x - 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.		* Mit 95% Sicherheit liegt der <u>Mittelwert der Grundgesamtheit</u> im Intervall <math>[\overline x - 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.
	* Mit 99% Sicherheit liegt ~~das echte Ergebnis~~ im Intervall <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.		* Mit 99% Sicherheit liegt der <u>Mittelwert der Grundgesamtheit</u> im Intervall <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.

	==Sonderfall: Bernoulli-Versuche==		==Sonderfall: Bernoulli-Versuche==

Akaibel am 16. November 2022 um 14:42 Uhr

2022-11-16T14:42:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2022, 14:42 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:

	Jetzt gilt (lt. Mathematik...):		Jetzt gilt (lt. Mathematik...):
	* Mit 95% Sicherheit liegt das echte Ergebnis im Intervall <math>[\overline x - 1,96 \cdot{s} ~ \| ~ \overline x + 1,96 \cdot{s} ] </math>.		* Mit 95% Sicherheit liegt das echte Ergebnis im Intervall <math>[\overline x - 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 1,96 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.
	* Mit 99% Sicherheit liegt das echte Ergebnis im Intervall <math>[\overline x - 2,58 \cdot{s} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot{s} ] </math>.		* Mit 99% Sicherheit liegt das echte Ergebnis im Intervall <math>[\overline x - 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ~ \| ~ \overline x + 2,58 \cdot {\frac{s}{\sqrt{n}}} ] </math>.

	==Sonderfall: Bernoulli-Versuche==		==Sonderfall: Bernoulli-Versuche==

Akaibel am 27. Oktober 2022 um 16:14 Uhr

2022-10-27T16:14:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2022, 16:14 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:

	<math>[4 \cdot 0,7745 ~\|~ 4 \cdot 0,7957]~=</math> <br/><math>[3,098 ~\|~ 3,1828]</math>		<math>[4 \cdot 0,7745 ~\|~ 4 \cdot 0,7957]~=</math> <br/><math>[3,098 ~\|~ 3,1828]</math>

			=Excel: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=
			* Die Daten in Spalte A packen.
			** Wichtig: Zahlen mit Kommas!
			* Folgende Formeln z.B. in die Felder <code>C1</code> und <code>C2</code> eintragen:
			** <code>=MITTELWERT(A:A)</code>
			** <code>=STABW.S(A:A)</code>

	=Java: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=		=Java: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=
Zeile 63:		Zeile 70:

	<code>		<code>
	public class Statistik {		'''public class Statistik''' {

	'''public double mittelwert(double[] werte)''' {		'''public double mittelwert(double[] werte)''' {
Zeile 126:		Zeile 133:
	print("Standardabweichung",std)		print("Standardabweichung",std)
	</code>		</code>

	~~=Excel: Mittelwert und Standardabweichung berechnen=~~
	* Die Daten in Spalte A packen.
	** Wichtig: Zahlen mit Kommas!
	* Folgende Formeln z.B. in die Felder <code>C1</code> und <code>C2</code> eintragen:
	** <code>=MITTELWERT(A:A)</code>
	** <code>=STABW.S(A:A)</code>