Graph

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Graph für die Distanzen zwischen Städten

Ein Graph ist in der Graphentheorie eine Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repräsentiert.

Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei Knoten des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten heißen Kanten.

Ein Graph kann entweder als Graph, als Adjazenzliste oder als Adjazenzmatrix dargestellt werden.

Schnittstellenbeschreibung

Graph Schnittstellenbeschreibung (ab Abi 2018)

Adjazenzmatrix

Knoten und Kanten eines Graphen können in Form einer Matrix dargestellt werden. Die Matrix ist dabei spiegelsymmetrisch.

Der oben dargestellte Graph hat folgende Adjazenzmatrix:

Berlin Bremen Dortmund Frankfurt Hamburg Hannover Kassel Koeln
Berlin 289 290
Bremen 234 119 122
Dortmund 234 210 160 93
Frankfurt 193 189
Hamburg 289 119 150
Hannover 290 122 210 150 167
Kassel 160 193 167
Koeln 93 189

TODO: Algorithmus zum Erzeugen eines Graphen aus einem 2D-Array (Adjazenzmatrix)

Adjazenzliste

Man kann die Informationen eines Graphen auch als Adjazenzliste darstellen. Das bietet sich z.B. an, wenn es in einem Graphen nur wenige Kanten gibt; dann ist die komplette Adjazenzmatrix Platzverschwendung.

In der Adjazenzliste werden links von oben nach unten alle Knoten aufgeführt, z.B. in alphabetischer Reihenfolge; die Reihenfolge ist aber frei wählbar.

Nach rechts werden alle Nachbarknoten des linken Knoten mit den zugehörigen Entfernungen eingetragen. Auch hier ist die Reihenfolge frei wählbar.

Der oben dargestelle Graph hat folgende Adjazenzliste: 

Berlin → Hamburg (289) → Hannover (290)
   ↓
Bremen  → Dortmund (234) → Hamburg (119) → Hannover (122)
   ↓
Dortmund → Bremen (234) → Hannover (210) → Kassel (190) → Köln (93)
   ↓
Frankfurt → Kassel (193) → Köln (189)
   ↓
Hamburg → Berlin (289) → Bremen (119) → Hannover (150)
   ↓
Hannover → Berlin (290) → Bremen (122) → Dortmund (210) → Hamburg (150) → Kassel (167)
   ↓
Kassel → Dortmund (160) → Frankfurt (193) → Hannover (167)
   ↓
Koeln → Dortmund (93) → Frankfurt (189)

Traversierungen von Graphen

Wie bei Bäumen gibt es auch bei Graphen viele Anwendungen, in denen ein Graph knotenweise durchlaufen werden muss. Die Traversierungsverfahren ähneln denen bei Bäumen, berücksichtigen allerdings noch die speziellen Gegebenheiten von Graphen, nämlich:

  • Graphenknoten können mehr als zwei Nachbarn haben
  • Graphen können Querverbindungen und "Kreise" enthalten

Tiefendurchlauf

Erläuterung

Beim Tiefendurchlauf (engl. Depth First Search - DFS) durch einen Baum nimmt man ausgehend von einem Startknoten den ersten Nachbarknoten. Von diesem nimmt man wieder den ersten Nachbarknoten usw. Wenn man dann in eine Sackgasse gerät, geht man eine Stufe zurück und nimmt den nächsten Nachbarknoten. Natürlich werden Knoten, die man schon besucht hat, nicht noch einmal berücksichtigt.

Der Tiefendurchlauf entspricht der Preorder-Traversierung eines Baumes.

Beispiel:

Es gibt für jeden Startknoten mehrere mögliche Tiefendurchläufe, denn man kann sich bei den Nachbarknoten frei entscheiden, welchen man zuerst nimmt. In diesem Beispiel werden die Nachbarknoten immer nach alphabetischer Ordnung genommen.

Tiefendurchlauf für den Startknoten Frankfurt:

Zu Anfang kann man immer direkt weitergehen:

Frankfurt -> Kassel -> Dortmund -> Bremen -> Hamburg -> Berlin -> Hannover

Von Hannover aus ist kein freier Knoten mehr erreichbar. Deswegen muss man jetzt in der Liste zurckgehen, bis man zu einem Knoten kommt, der noch einen freien Nachbarknoten hat. Das ist in diesem Fall Dortmund (der freie Nachbarknoten ist Koeln). Das heißt, Koeln wird als nächstes angehängt, und man würde von Köln aus weitersuchen (wenn es noch freie Knoten gäbe...)

Ergebnis:

Frankfurt -> Kassel -> Dortmund -> Bremen -> Hamburg -> Berlin -> Hannover -> Koeln

Implementierung

Der Tiefendurchlauf durch einen Graphen wird am einfachsten rekursiv programmiert. 

 public List tiefendurchlauf(Graph pGraph, GraphNode pNode){
   List knoten = new List();
   knoten.append(pNode);
   pNode.mark();
   //Alle Nachbarn des Startknoten holen
   List nachbarnListe = pGraph.getNeighbours(pNode);
   //Nachbarn mit for-Schleife durchlaufen
   for(nachbarnListe.toFirst(); nachbarnListe.hasAccess(); nachbarnListe.next()){
     GraphNode aktuellerNachbar = (GraphNode)nachbarnListe.getObject();
     //Wenn der aktuelle Nachbar nicht markiert ist, also noch nicht besucht wurde,
     //zur Liste hinzufuegen und auch seine Nachbarn durch den rekursiven Aufruf besuchen.
     if( !aktuellerNachbar.isMarked() ){
       //Rekursiver Aufruf
       List weitereKnotenListe = tiefendurchlauf(pGraph, aktuellerNachbar);
       knoten.concat(weitereKnotenListe);
     }
   }
   return knoten;
 }

Breitendurchlauf

Der Breitendurchlauf (engl. breadth first search - BFS) ist eine Methode, um alle Knoten eines Graphen aufzuzählen.

Erläuterung

Mit dem Breitendurchlauf werden die Knoten in folgender Reihenfolge aufgezählt:

  1. zuerst der Startknoten,
  2. dann die Nachbarknoten des Startknotens, d.h. alle Knoten, die vom Startknoten aus über eine Kante erreichbar sind.
  3. dann die Knoten, die vom Startknoten aus mit zwei Kanten erreichbar sind.
  4. usw.

Knoten, die schon einmal aufgezählt wurden, werden natürlich nicht wieder aufgezählt.

Im Binärbaum ist der Breitendurchlauf genau Levelorder.


Beispiel

Beim Breitendurchlauf gibt es für jeden Startknoten mehrere Möglichkeiten, denn mann kann zwischen den Nachbarknoten wählen. Hier werden die Nachbarknoten immer in alphabetischer Reihenfolge betrachtet.

Breitendurchlauf für den Startknoten Frankfurt

Erst der Startknoten und seine Nachbarknoten:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln

Jetzt wird von den Nachbarknoten der erste genommen und dessen Nachbarknoten werden betrachtet:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln -> Dortmund -> Hannover

Der nächste Knoten in der Liste, der noch freie Nachbarknoten hat, ist Dortmund:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln -> Dortmund -> Hannover -> Bremen

Schließlich die Nachbarknoten von Hannover:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln -> Dortmund -> Hannover -> Bremen -> Berlin -> Hamburg

Beim Breitendurchlauf wird also zuerst die "nähere Umgebung" betrachtet.

Implementierung

Die Implementierung setzt darauf auf, dass der Graph linearisiert wird:

Man braucht eine knotenListe; in diese werden nach und nach alle Knoten des Graphen gemäß der Breitendurchlauf-Reihenfolge eingefügt.

  1. zuerst wird der Startknoten als besucht markiert und in knotenListe eingefügt.
  2. Dann wird knotenListe von Anfang bis Ende durchlaufen. Dabei passiert folgendes:
    1. Für jeden Nachbarknoten des aktuellen Knoten wird überprüft, ob er schon besucht wurde. Wenn nein, dann wird er als besucht markiert und in knotenListe eingefügt.

So wächst die knotenListe von einem Element (=dem Startknoten) beginnend immer weiter an, während sie durchlaufen wird. Die Schleife kommt zum Ende, wenn alle Knoten eingefügt und als besucht gekennzeichnet sind. 

  public List breitenDurchlauf(Graph pGraph, GraphNode startKnoten){
     pGraph.resetMarks();
     List knotenListe = new List();
     startKnoten.mark();
     knotenListe.append(startKnoten);
     for(knotenListe.toFirst(); knotenListe.hasAccess(); knotenListe.next()){
        GraphNode aktuell = (GraphNode) knotenListe.getObject();
        List nachbarn = pGraph.getNeighbours(aktuell);
        for(nachbarn.toFirst(); nachbarn.hasAccess(); nachbarn.next()){
           GraphNode aktuellerNachbar = (GraphNode)nachbarn.getObject();
           if(!aktuellerNachbar.isMarked()){
              aktuellerNachbar.mark();
              knotenListe.append(aktuellerNachbar);
           }
        }
     }
     return knotenListe;
  }

Backtracking: kürzeste Wege auf Graphen

siehe Backtracking

Dijkstra-Algorithmus: kürzeste Wege auf Graphen

siehe Dijkstra-Algorithmus

Anwendungsbeispiele zu Graphen

Erreichbare Knoten

Diese Methode ist am einfachsten rekursiv zu realisieren.

Dabei verfolgt man diese Strategie:

  • der aktuell untersuchte Knoten (=der mit Namen pName wird in die Liste ergebnis eingefügt
  • der aktuell untersuchte Knoten wird als besucht markiert.
  • dann werden die Nachbarn des aktuell untersuchten Knoten durchlaufen.
    • Für jeden Nachbarn wird überprüft, ob er schon markiert wurde.
      • wenn ja, passiert nichts.
      • wenn nein, dann wird die Methode rekursiv aufgerufen und das Ergebnis des rekursiven Aufrufs an die Liste ergebnis angehängt.

   public List erreichbareNodes(GraphWithViewer pGraph, String pName){
       List ergebnis = new List();
       GraphNode lNode = pGraph.getNode(pName);
       ergebnis.append(pName);
       lNode.mark();
       List nachbarn = pGraph.getNeighbours(lNode);
       for(nachbarn.toFirst(); nachbarn.hasAccess(); nachbarn.next()){
           GraphNode aktuellerNachbar = (GraphNode) nachbarn.getObject();
           if(!aktuellerNachbar.isMarked()){
               List erreichbarVomNachbarn = erreichbareNodes(pGraph, aktuellerNachbar.getName());
               ergebnis.concat(erreichbarVomNachbarn);
           }
       }
       return ergebnis;
   }

Minimaler Spannbaum

siehe Minimaler Spannbaum

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