Binärer Suchbaum

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Binärer Suchbaum mit 15 Elementen

Diese Seite entspricht dem Abi 17 (und folgenden)

Definition

Ein binärer Suchbaum ist ein Binärbaum mit einer zusätzlichen Eigenschaft:

  • die Elemente im linken Teilbaum sind kleiner als die Wurzel; die Elemente im rechten Teilbaum sind größer als die Wurzel.
  • Diese Eigenschaft gilt auch für alle Teilbäume eines binären Suchbaumes.

Wie kleiner bzw. größer definiert werden, hängt dabei vom Anwendungszusammenhang ab; bei Personen kann z.B. das Alter oder die alphabetische Ordnung des Nachnamens das wesentliche Ordnungskriterium sein.

Eigenschaften eines Suchbaumes

Suchen:

Binäre Suchbäume haben den Vorteil, dass man in ihnen sehr schnell suchen kann:
Man muss nicht den ganzen Baum zu durchsuchen, sondern kann - ausgehend von der Wurzel - einen Pfad bis zum Blatt abgehen. Je nachdem, ob das gesuchte Element kleiner oder größer ist als der gerade betrachtete Knoten, biegt man rechts (bzw. links) ab.

Der Geschwindigkeitsvorteil ist enorm und wird immer größer, je größer der Baum wird.
(Vorausgesetzt, der Baum ist balanciert.)

Bei einem perfekt balancierten Baum sieht das so aus:

  • Bei 1.000 Elementen braucht man nur 10 Vergleiche
  • Bei 1.000.000 Elementen braucht man nur 20 Vergleiche
  • Bei n Elementen braucht man log2(n) Vergleiche.


Sortierte Liste:

Der Inorder-Durchlauf (Links -> Wurzel -> Rechts) eines Suchbaumes ergibt genau die alphabetische Ordnung. (Zu den verschiedenen Durchlaufarten durch Binärbäume: s. Traversierung von Binärbäumen)

Schnittstelle des Zentralabiturs

Schnittstelle BinarySearchTree (PDF)

Erläuterungen zur Schnittstelle

Die Schnittstelle des Zentralabiturs besteht aus zwei Klassen:

  • BinarySearchTree ist der eigentliche binäre Suchbaum.
  • ComparableContent: In einen BinarySearchTree können nur Objekte eingefügt werden, die das Interface ComparableContent implementieren. ComparableContent erzwingt die Implementierung der Methoden isEqual, isGreater und isLess. Dadurch wird festgelegt, wie Objekte in den Suchbaum einsortiert werden.

Beispiel: Verwendung von BinarySearchTree und ComparableContent

In einer Bibliothek soll der Buchbestand in einem Binären Suchbaum gespeichert werden, damit man schnell nach einem bestimmten Buchtitel suchen kann. Das heißt, das Ordnungskriterium für den Suchbaum ist die alphabetische Ordnung nach dem Titel der Bücher.

Im Detail sind für die Bibliothek folgende Methoden vorgesehen:

  • suchen: Man übergibt einen Buchtitel und erhält das Buch
  • buecherListeEinfuegen: Man übergibt eine Liste von Büchern, die - gemäß dem Ordnungskriterium Titel - richtig in den binären Suchbaum eingefügt werden.

Für die einzelnen Bücher werden lediglich Titel und Regalnummer gespeichert; die Regalnummer soll man nachträglich ändern können, den Titel nicht. Objekte der Klasse Buch sollen in einen binären Suchbaum eingefügt bzw. nach bestimmten Titeln gesucht werden. Dabei soll das Ordnungskriterium die alphabetische Ordnung nach dem Titel sein.

Implementationdiagramm

Implementationsdiagramm Bibliothek

Erläuterungen:

  • Bibliothek hat (=besitzt) einen BinarySearchTree, in dem nur Objekte vom Typ Buch gespeichert werden können.
  • Buch muss das Interface ComparableCont implementieren, damit es überhaupt im BinarySearchTree buecherBaum gespeichert werden kann.
  • Das hat als Konsequenz: Buch muss die Methoden isEqual, isGreater und isLess so überschreiben, dass die Bücher nach dem Titel verglichen werden.

Implementierung

public class Buch implements ComparableContent<Buch>{
  private String titel;
  private int regalNr;
  
  public Buch(String pTitel, int pRegalNr){
     titel = pTitel;
     regalNr = pRegalNr;
  }

  public int getRegalNr() {
     return regalNr;
  }

  public void setRegalNr(int regalNr) {
     this.regalNr = regalNr;
  }

  public String getTitel() {
     return titel;
  }

  public boolean isEqual(Buch pContent) {
     Buch pBuch = pContent;
     boolean ergebnis = false;
     if(titel.equals(pBuch.getTitel())){
        ergebnis = true;
     }
     return ergebnis;
  }

  public boolean isLess(Buch pContent) {
     Buch pBuch = pContent;
     boolean ergebnis = false;
     if(titel.compareTo(pBuch.getTitel())<0){
        ergebnis = true;
     }
     return ergebnis;
  }

  public boolean isGreater(Buch pContent) {
     Buch pBuch = pContent;
     boolean ergebnis = false;
     if(titel.compareTo(pBuch.getTitel())>0){
        ergebnis = true;
     }
     return ergebnis;
  }
}

Jetzt können z.B. in einer Klasse Bibliothek Objekte der Klasse Buch in einen BinarySearchTree eingefügt werden: 

 public class Bibliothek{
  
     //hier werden die Buecher gespeichert
     BinarySearchTree<Buch> buecherBaum;

     public Bibliothek(){
        buecherBaum = new BinarySearchTree<Buch>();
      }  

     public void uebertrageListeInBaum(List<Buch> buecherListe){
        for(buecherListe.toFirst(); buecherListe.hasAccess(); buecherListe.next()){
           Buch aktuellesBuch = buecherListe.getContent();
           buecherBaum.insert(aktuellesBuch);
        }
     }
    
     public Buch suche(String pTitel){
         // man muss erst ein Dummy-Buch erzeugen
         // nach dem kann man dann suchen
         Buch dummyBuch = new Buch(pTitel, -1);
         Buch ergebnis = buecherBaum.search(dummyBuch);
         return ergebnis;
     }
 }

Erläuterungen zur Methode public Buch suche(String pTitel):

Die Implementierung sieht auf den ersten Blick etwas eigenwillig aus, ist aber die einfachste und schnellste. Warum wird das so gemacht?

  • In Objekten vom Typ BinarySearchTree<Buch> kann man nur nach Objekten vom Typ Buch suchen.
  • D.h. man muss erst ein dummyBuch erstellen, das den gewünschten Titel trägt.
  • Da Buch das Interface ComparableContent implementiert, kann man mithilfe von dummyBuch die Methode search aufrufen.
  • search gibt dann das "richtige" gesuchte Buch zurück.
  • WICHTIG: ergebnis ist das "richtige" Buch; dummyBuch wurde nur dafür erstellt, damit man nach einem Titel suchen kann!

ComparableContent: Java-Quellcode

Das Interface ComparableContent stellt sicher, dass nur Objekte in einen binären Suchbaum eingefügt werden, die man miteinander vergleichen kann. (Ohne Objekte als größer, gleich oder kleiner vergleichen zu können, wäre ein binärer Suchbaum natürlich sinnlos, man könnte keine Sortierung auf linke und rechte Teilbäume vornehmen.) 

 public interface ComparableContent<ContentType> {
   public boolean isEqual(ContentType pContent);
   public boolean isLess(ContentType pContent);
   public boolean isGreater(ContentType pContent);
 }

  • Die Methoden werden in ContentType nur deklariert, aber nicht implementiert!
  • Jede Klasse, die ComparableContent implementiert (Syntax: public MyClass implements ComparableContent), muss diese drei Methoden überschreiben und eine Implementierung anbieten.

Innerer Aufbau eines BinarySearchTree

Am einfachsten lässt sich ein BinarySearchTree konstruieren, wenn der BinarySearchTree einen BinaryTree besitzt und alle Aufgaben an ihn delegiert: BinarySearchTree innerer Aufbau.png

(Eine erbt-Beziehung ist nicht möglich, da es Methoden in BinaryTree gibt, die die Suchbaumstruktur des BinarySearchTree zerstören würden, z.B. setLeftTree.)

Implementierung von search (LK)

Die Rahmenmethode delegiert die Aufgabe an eine rekursive Methode, an die als Parameter myTree übergeben wird.

Die rekursive Methode geht einen Pfad ab, bis sie auf das gesuchte Element oder auf einen leeren Knoten trifft. 

public ContentType search(ContentType pContent) {
   return search(myTree, pContent);
}
 
public ContentType search(BinaryTree<ContentType> pTree, ContentType pContent){
   // Abbruchbedingung: leerer Baum oder pContent ist null
   if (pTree.isEmpty() || pContent == null) {
       return null;
   }

   ContentType wurzel = pTree.getContent();
 
   // Abbruchbedingung: die Wurzel enthaelt das Gesuchte!
   if(pContent.isEqual(wurzel)){
       return wurzel;
   }
  
   // rekursive Aufrufe - entweder fuer den linken oder den rechten Teilbaum
   if (pContent.isLess(wurzel)) {
           // Element wird im linken Teilbaum gesucht.
       ContentType links = search(pTree.getLeftTree(), pContent);
       return links;
   }
   if (pContent.isGreater(wurzel)) {
           // Element wird im rechten Teilbaum gesucht.
       ContentType rechts = search(pTree.getRightTree(), pContent);
       return rechts;
   }
   // Dieser Fall sollte nicht auftreten.
   return null;
}

Implementierung von insert(LK)

Um Elemente in einen binären Suchbaum einzufügen, muss man ausgehend von der Wurzel einen Pfad bis zu einem leeren Knoten abgehen und dort den einzufügenden Inhalt hineinschreiben. Je nachdem, ob das gesuchte Element kleiner oder größer ist als der gerade betrachtete Knoten, biegt man rechts (bzw. links) ab. Sobald man einen leeren Knoten gefunden hat, ist man an der richtigen Stelle, wo man das Element einfügen kann.

In der Rahmenmethode delegiert der BinarySearchTree das Einfügen an eine Methode, die rekursiv in den BinaryTree myTree einfügt. 

   public void insert(ContentType pContent){
       insert(myTree, pContent);
   }
  
   private void insert(BinaryTree<ContentType> pTree, ContentType pContent) {
       if(pContent == null){
           return;
       }
       if (pTree.isEmpty()) {
           pTree.setContent(pContent);
           return ;
       }
       ContentType wurzel = pTree.getContent();
       if (pContent.isLess(wurzel)) {
           insert(pTree.getLeftTree(), pContent);
       }
       else{
           insert(pTree.getRightTree(), pContent);
       }
       return;
    }

Alternative Implementierung mit while-Schleife:

Man kann das Einfügen auch mit einer while-Schleife realisieren. Dann braucht man keine Rahmenmethode. 

   public void insert(ContentType pContent) {
       BinaryTree<ContentType> b = myTree;
       while(!b.isEmpty()){
           int wurzel = b.getContent();
           // UPDATE von b
           if(pContent.isLess(wurzel)){
               b = b.getLeftTree();
           }
           else{
               b = b.getRightTree();
           }
       }
       // jetzt ist man beim richtigen leeren Knoten angekommen!
       b.setContent(pContent);
   }

Was besser ist?! Genau das, was einem mehr liegt!
Allgemein gilt:

  • Die rekursive Methode hat den Vorteil, dass die bei Bäumen für fast alles (außer Levelorder) funktioniert.
  • Mit der while-Schleife kann man nur bei einem Pfaddurchlauf hantieren.

Löschen (remove)

Die Klasse BinarySearchTree bietet neben der Methode insert auch die Methode remove, mit der man ein Element aus einem Suchbaum löschen kann - und die Suchbaumstruktur bleibt gewahrt!

Das ist sehr angenehm, denn das Löschen von Elementen aus einem Suchbaum ist eine SEHR mühsame Angelegenheit, weil man genau darauf achten muss, dass die Suchbaum-Struktur nicht zerstört wird.

Im folgenden wird dargestellt, wie das Löschen von Elementen aus einem Binären Suchbaum funktioniert.

Implementierung einer Löschmethode

Beispiel: Löschen der 34

Diese Methode ist nicht relevant für das Zentralabitur!

Das Löschen von Knoten aus binären Suchbäumen ist insofern nicht ganz einfach, als man darauf achten muss, dass die Struktur des binären Suchbaums nicht zerstört wird.

TODO: Implementierung des Löschens auf Abi 2017 anpassen!!!


Strategie

Standardfall

  1. Den richtigen Knoten suchen: K0. Außerdem braucht man den Vorgänger von K0
  2. Suche im linken Teilbaum von K0 den Knoten, der am weitesten rechts ist: K1. Außerdem braucht man den Vorgänger von K1
  3. Hänge den (linken!) Nachfolger von K1 an den Vorgänger von K1.
  4. K1 ersetzt jetzt K0, d.h. der Inhalt von K1 wird jetzt in den Knoten K0 geschrieben.


Ausnahmefälle

  1. K0 ist ein Blatt → einfach löschen.
  2. Die Wurzel des Gesamtbaumes enthält das zu löschende Element
    1. TODO
  3. K0 hat keinen linken Teilbaum → Der Nachfolger von K0 ersetzt K0, d.h.:
    1. Im Vorgänger von K0 wird der Nachfolger von K0 als (richtigen!) Nachfolger eingetragen.

benötigte Methoden

  1. public boolean istBlatt(BinaryTree pTree)
  2. public BinaryTree findeK0Vorgaenger(BinaryTree pTree, Object pObject)
  3. public BinaryTree findeK1Vorgaenger(BinaryTree pTree)

Implementierung

 public void loeschen(BinaryTree b, String zahl) {
   if(b.isEmpty())
   {
     return;
   }
 
   // wenn das zu loeschende Element die Wurzel ist:
   // 1. an einen Vater-Knoten anhaengen
   // 2. loeschen
   // 3. vaterknoten wieder wegnehmen	
   if(b.getObject().equals(zahl)){
     BinaryTree vater = new BinaryTree("-999999");
     vater.setRightTree(b);
     loeschen(vater, zahl);
     b = vater.getRightTree();
     return;
   }
 
   BinaryTree K0vorgaenger = this.findeVorgaengerKnoten(b,zahl );
   System.out.println("Vorgänger von K0:" + K0vorgaenger.getObject());
 
   boolean K0haengtLinksAmVorgaenger = true;
   BinaryTree K0 = K0vorgaenger.getLeftTree();
   if(!K0vorgaenger.getRightTree().isEmpty() && 
     zahl.equals(K0vorgaenger.getRightTree().getObject()))
   {	
     K0 = K0vorgaenger.getRightTree();
     K0haengtLinksAmVorgaenger = false;
   }

   String K0String = (String) K0.getObject();
   System.out.println("K0String: "+K0String);
 
   if(istBlatt(K0)){
     System.out.println("istBlatt!");
     if(K0haengtLinksAmVorgaenger){
       K0vorgaenger.setLeftTree(new BinaryTree());
     }
     else{
       K0vorgaenger.setRightTree(new BinaryTree());
     }
     return;
   }

   if(K0.getLeftTree().isEmpty()){
     K0.setObject(K0.getRightTree().getObject());
     K0.setLeftTree(K0.getRightTree().getLeftTree());
     K0.setRightTree(K0.getRightTree().getRightTree());
     return;
   }

   BinaryTree K1vorgaenger = vorgaengerVonAmWeitestenRechts(K0.getLeftTree());
   System.out.println("K1vorgaenger: " + K1vorgaenger.getObject());
   BinaryTree K1 = K1vorgaenger.getRightTree();
   System.out.println("K1: " + K1.getObject());

   K1vorgaenger.setRightTree(K1.getLeftTree());
   K0.setObject(K1.getObject());

   return;
 }

 private boolean istBlatt(BinaryTree pTree) {
   boolean ergebnis = pTree.getLeftTree().isEmpty() && pTree.getRightTree().isEmpty(); 
   System.out.println("istBlatt("+pTree.getObject()+"): "+ergebnis);
   return ergebnis;
 }

 private BinaryTree vorgaengerVonAmWeitestenRechts(BinaryTree pTree) {
   System.out.println("vorgaengervonAmWeitestenRechts("+pTree.getObject()+")");
   if(pTree.getRightTree().isEmpty()){
     System.err.println("Fehler in vorgaengerVonAmWeitestenRechts");
     return null;
   }
   if(pTree.getRightTree().getRightTree().isEmpty()){
     return pTree;
   }
   BinaryTree ergebnis = this.vorgaengerVonAmWeitestenRechts(pTree.getRightTree());
     return ergebnis;
   }

   private BinaryTree findeVorgaengerKnoten(BinaryTree pTree, String zahl)
   {
     System.out.println("findeVorgaengerKnoten("+pTree.getObject()+", "+zahl+")");
     if(zahl.equals(pTree.getObject())){
       System.err.println(zahl+"ist die Wurzel von pTree selber!!!");
       return null;
     }
     boolean gefunden = false;
     int zahl1 = Integer.parseInt(zahl);

     BinaryTree ergebnis = pTree;
     while(gefunden == false){
       String wurzelString = (String) ergebnis.getObject();
       int wurzelInt = Integer.parseInt(wurzelString);

       System.out.println("wurzelInt" + wurzelInt);
       System.out.println("zahl" + zahl);
       System.out.println("ergebnis.getObject(): " + ergebnis.getObject());

       if(zahl.equals(ergebnis.getRightTree().getObject()) || 
          zahl.equals(ergebnis.getLeftTree().getObject()))
       {
         gefunden = true;
       }
       else
       {
         if(zahl1 < wurzelInt){
           ergebnis = ergebnis.getLeftTree();
         }
         else{
           ergebnis = ergebnis.getRightTree();
         }
       }
     }
     return ergebnis;
 }

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