Deterministischer Endlicher Automat

Ein deterministischer endlicher Automat erhält ein Wort als Eingabe und akzeptiert dieses Wort oder nicht.

Die Menge der akzeptierten Wörter bildet die durch den deterministischen endlichen Automaten dargestellte Sprache.

Sprachen, die von deterministischen endlichen Automaten akzeptiert werden, heißen reguläre Sprache.

Zu unterscheiden ist der deterministische endliche Automat vom Nicht-deterministischen endlichen Automaten.

Deterministische endliche Automaten können als Java-Programm realisiert werden. Ein solches Programm nennt man Parser.

Beispiel

Der KGB-Automat:

Der KGB-Automat erkennt Wörter, die nur aus den Ziffern 0,...,9 bestehen und die irgendwo die Zahlenkette "007" enhalten.

Übergangsgraph des KGB-Automaten.
Der Anfangszustand wird durch ein Dreieck, der Endzustand durch einen Doppelkreis gekennzeichnet.

• Eingabealphabet: A = {0, 1, ..., 9}
• Zustände: Z = {q₀, q₁, q₂, q₃}
• Die Zustandsübergangsfunktion wird durch den Übergangsgraph (rechts) oder die Übergangstabelle (unten) dargestellt.
• Anfangszustand: q₀ (im Graph: ein Dreieck)
• Endzustände: {q₃} (im Graph: ein Doppelkreis)

Die Zustandsübergangsfunktion als Tabelle dargestellt:

	0	7	1..6, 8, 9
q0	q1	q0	q0
q1	q2	q0	q0
q2	q2	q3	q0
q3	q3	q3	q3

Überprüfung von Wörtern

Bei der Überprüfung von Wörtern mit deterministischen endlichen Automaten gibt es drei Möglichkeiten:

• Es wird ein Endzustand erreicht: Dann ist das Wort akzeptiert.
• Es wird kein Endzustand erreicht: Dann ist das Wort nicht akzeptiert.
• Es gibt für ein Zeichen im Wort von dem Zustand aus, der gerade erreicht ist, keinen Übergang: Dann "fährt" man in eine sog. Senke und das Wort ist nicht akzeptiert.

Beispiele:

• Überprüfung von "060074": q₀ → q₁ →q₀ →q₁ →q₂ →q₃ →q₃ : Endzustand erreicht, d.h. akzeptiert.
• Überprüfung von "060064": q₀ → q₁ →q₀ →q₁ →q₂ →q₀ →q₀ : Endzustand nicht erreicht, d.h. nicht akzeptiert.

In diesem Beispiel kann nicht demonstriert werden, wie man in eine Senke fahren kann, weil es es in jedem Zustand für jedes Symbol einen Übergang gibt.

Definition

Ein deterministischer, endlicher Automat wird durch ein 5-Tupel (A, Z, d, q₀, E) spezifiziert:

• Das Eingabealphabet A ist eine endliche, nicht leere Menge von Symbolen. Buchstaben des Eingabealphabetes werden in der Regel klein geschrieben.
• Z ist eine endliche, nicht leere Menge von Zuständen Z
• d: Z x A → Z ist die Zustandsübergangsfunktion
• q₀ ∈ Z ist der Anfangszustand
• E ⊆ Z ist die Menge der Endzustände

Die Zustandsübergangsfunktion kann durch einen Übergangsgraphen oder durch eine Tabelle dargestellt werden.

Beziehung zu regulären Sprachen und regulären Grammatiken

• Sprachen, die von deterministischen endlichen Automaten akzeptiert werden, heißen reguläre Sprache.
• Zu jedem deterministischen endlichen Automaten gibt es eine reguläre Grammatik.
  • Diese lässt sich leicht aus dem Übergangsgraphen konstruieren, indem man aus jedem Zustand ein Nichtterminalsymbol macht und aus jedem Übergang eine Regel (mit einem Terminalsymbol und einem Nichtterminalsymbol).
• Zu jeder regulären Grammatik gibt es einen deterministischen endlichen Automaten.
  
  • Dazu erstellt man aus der regulären Grammatik erst einen Nicht-deterministischen endlichen Automaten, indem man aus jedem Nichtterminalsymbol einen Zustand macht und aus jeder Produktionsregel einen Übergang.
  • Aus dem Nicht-deterministischen endlichen Automaten kann man einen deterministischen endlichen Automaten erstellen. Das ist mühsam, aber es ist bewiesen, dass das immer geht!

Grenzen

Nicht jede Sprache kann durch einen deterministischen endlichen Automaten erkannt werden.

Die wesentliche Grenze ist hierbei, dass der Automat endlich sein muss.

Beispiel

Gegeben ist eine Sprache, die aus dem Alphabet A = {a, b} besteht.

Zur Sprache sollen die Wörter der Form anbn gehören, d.h. alle Wörter für die gilt:

• erst beliebig viele a
• dann genauso viele b.

Für diese Sprache gibt es keinen deterministischen endlichen Automaten!

Begründung: Der Automat muss sich "merken" können, wie viele a vorgekommen sind. Dafür bräuchte er eine unbegrenzte Menge von Zuständen, denn es ist nicht festgelegt, wie viele Buchstaben "a" kommen, bevor man zu "b" übergeht.

Weitere Beispiele

Auch für die folgenden Sprachen gibt es keinen deterministischen endlichen Automaten.

• Die spiegelsymmetrische Sprache: Jedes Wort soll in der Mitte eine Spiegelachse haben, d.h. die erste Worthälfte soll spiegelsymmetrisch zur zweiten Worthälfte sein.
• Die Sprache der Doppelwörter: Zu dieser Sprache gehören genau die Wörter, die aus zwei gleichen Wörtern bestehen.